* Ghi chú: Các bài hoặc câu có dấu (*) dành riêng cho học sinh thi chuyên toán.

Bài 1. Cho phương trình ẩn
:

Giải phương trình với
.
Tìm
để phương trình có hơn một nghiệm? có nhiều nghiệm nhất?

Bài 2. Cho biểu thức

Rút gọn P. Tìm
để P = 1/3.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P.
Tìm tất cả giá trị nguyên của
để P nhận giá trị nguyên. (*)

Bài 3. Cho hệ phương trình:

Giải hệ với
.
Tìm
để hệ có nghiệm duy nhất.(*)

Bài 4. Chứng minh:
là số hữu tỉ.

Bài 5. Tìm một phân số biết rằng: nếu cộng thêm 5 vào tử và mẫu thì giá trị phân số tăng thêm
,
còn nếu trừ đi 1 vào tử và mẫu thì giá trị phân số giảm đi
.
Bài 6. Cho đường tròn (O), dây BC cố định (BC khác đường kính), A di động trên
lớn
( A khác B, C và trung điểm
). H là hình chiếu của A trên BC. E, F là hình chiếu của B,C
trên đường kính AA’.
Xét quan hệ của EH và AC,
và
.
Tìm vị trí của A sao cho
vuông.
Tìm tập hợp tâm đường tròn ngoại tiếp
khi A di động (như giả thiết).

Bài 7*. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
.

Bài 8*. Trong hình chữ nhật kích thước 3x4 có 6 điểm phân biệt ở vị trí tuỳ ý. Chứng minh rằng ta
luôn tìm được hai điểm có khoảng cách không vượt quá
.

Bài 9*. Tìm số tự nhiên lẻ k để k3 + 1 là số chính phương.

Bài 10*. Cho
với
. Biết
lẻ. Chứng minh:
không thể có
nghiệm nguyên.

* Ghi chú: Các bài hoặc câu có dấu (*) dành riêng cho học sinh thi chuyên toán.

Bài 11. Cho phương trình ẩn
:

Giải phương trình với
.
Tìm
để phương trình có nghiệm
thoả mãn:
.
Tìm
để phương trình có hai nghiệm
thoả mãn:
nhỏ nhất.
Bài 12. Cho biểu thức

Rút gọn P. Tìm
để P = 2/3.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P.

Bài 13. Giải phương trình:

Bài 14.
Cho
thay đổi và thoả mãn:
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Cho
thay đổi và thoả mãn:
.Tìm giá trị lớn nhất của
(*).
Bài 15. Cho (P):
và (d):
. Chứng minh: (d) và (P) luôn có hai giao điểm AB.
Xét vị trí tương đối của đường tròn đường kính AB và đường thẳng (d’): y = -1.

Bài 16. Cho đường tròn (O), dây BC thoả
. Tiếp tuyến tại B, C cắt nhau tại A. M thuộc
cung
nhỏ, M khác B và C. Tiếp tuyến tại M cắt AB, AC lấn lượt tại E, F. BC cắt OE,OF
lần lượt tại I, K.
Chứng minh: Tứ giác OIFC nội tiếp và OM, EK, FI đồ ng quy.
Tính tỉ số EF/KI.

Bài 17*. Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không có giao điểm với (O). M di động trên d, đường
tròn đường kính OM cắt (O) tại P, Q. Chứng minh PQ đi qua một điểm cố định.

Bài 18*. Tìm tam giác vuông thoả mãn: tỉ số giữa hai bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp đạt giá trị
nhỏ nhất.

Bài 19*. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
.

Bài 20*. Cho hàm số
thoả:
.Tính
.






* Ghi chú: Các bài hoặc câu có dấu (*) dành riêng cho học sinh thi chuyên toán.

Bài 21. Cho phương trình ẩn
:

Giải phương trình với
.
Tìm
để phương trình có nhiều nghiệm nhất.

Bài 22. Cho biểu thức

Tìm
để P đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm
để P nhận giá trị nguyên.

Bài 23. Giải phương trình:
.

Bài 24. Cho các số thực
thoả mãn:
. Tìm giá trị lớn nhất của
.

Bài 25. Cho (P):
, tìm trên (P) hai điểm A, B đối xứng qua I(-1;1) hoặc đối xứng qua
(d) :
.

Bài 26. Cho tam giác nhọn ABC , đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC tại E, D. H